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自上而下的因果关系：数学结构与观察者
The following article is from 集智俱乐部 Author Otávio Bueno
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复杂性的基础是模块化的分层结构，导致基于较低级别网络的结构和功能的涌现级别。通俗而言，当需要执行复杂的任务时，可以将其分解为子任务，每个子任务都比整个项目更简单，需要更少的数据和更少的计算能力，并将这些任务分配给特定的模块。因此，人们更加容易接受自下而上的因果关系。物理决定论的强烈意识使得自下而上的因果观念盛行，而在分子生物学和神经科学界，机械论的解释占主导地位。它们之所以普遍存在，正是因为它们非常成功。但是现实世界是否是由自下而上的因果关系主导的？是否存在自上而下的因果关系？回答以上问题涉及“因果完备性（causal completeness）”，一个关键的需要是证明自上而下的因果关系在物理学自身中也很普遍。似乎开发非常复杂的系统，例如生物学中发生的系统，需要自上而下的因果关系，以建立必要的生物信息，这些信息不能以自下而上的方式推导出来，因为它隐含地体现了有关环境生态位的信息。在不同的环境中会有所不同。因此，较高级别的条件会影响较低级别发生的事情，即使较低级别执行工作也是如此。这就是作者所描述的自上而下的因果关系。这种自下而上和自上而下影响相互作用的观点对于理解复杂系统非常有帮助，并且对我们的社会模型和随之而来的社会政策具有重要意义。
翻译 | 刘志航
审校 | 刘培源
原文题目：
Mathematics and Measurement: Causation and the Mind
原文地址：https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-030-71899-2_3
在《物理学如何成为心智的基础？》（How Can Physics Underlie the Mind?，Ellis 2016），埃利斯提供了一个令人信服的案例，证明自上而下的因果关系在科学（特别是物理学、生物学、计算机科学和认知科学）及其他领域的重要性。这是一项范围广泛的工作，但有一个非常清晰的论点，并得到了各种例子的支持。简而言之，他的这项工作不仅强调我们所熟悉的自下而上因果关系（从基本物理层面到非物理领域）的重要性，还特别强调了是自上而下的因果关系（从心理到物理）在表征中的重要性的层次结构。正如埃利斯所说：
正是自下而上和自上而下的因果关系的结合，才使得真正复杂的行为从组合在一起的简单组件中涌现出来，形成了模块化的分层结构。除了自下而上的因果关系，自上而下的因果关系也发生在这些结构中[......]通过语境在决定较低层次因果关系结果中的关键作用。（Ellis 2016, p. 5; italics added）
我想通过讨论埃利斯研究的两个案例来关注这种“情境的关键作用”：数学结构的因果作用和自上而下的因果关系在测量中的作用（尤其是在量子力学中）。我非常同意他的总体信息，尽管我们可能在细节问题上存在分歧，我将在广泛的经验主义背景下阐明这一信息。
2数学与心智
强调自上而下因果关系作用的一个有趣结果是，至少在某种视角下，数学在因果关系解释上变得活跃。事实上，根据埃利斯的说法，数学的抽象世界在因果上是有效的（causally efficacious）：
数学这个抽象的世界在两个方面是因果有效的。首先，它可以被人类的心智探索，由此产生的关系以多种方式共享和表示。例如，可以将曼德布洛特集的图形版本印刷在一本书中，从而在页面的墨水中产生这种抽象图案的物理体现。（Ellis 2016, p. 367）
正是人类心智对数学的探索，使人们能够发现抽象对象之间的新关系，并在物理世界中表示这种关系，例如在曼德布洛特集的情况下用抽象图案的印刷表示。但这并不是抽象世界因果有效的唯一方式。埃利斯继续说：
其次，由此产生的（抽象对象之间的）关系可用于商业、物理学和工程学，以分析可能性，从而改变世界。例如，数学是商业和建筑项目中改变我们周围世界的建筑和工程决策的基础。它还奠定了物理学支撑工程学的方式，例如麦克斯韦方程组是电信行业基础的理论[. . . ]。因此，数学关系对世界上发生的事情产生了真正的影响。（Ellis 2016, p. 367）
使用数学来分析现实工程的可能性，可以对世界的变化采取行动。一个工程项目，例如金门大桥的建设，是在仔细的数学分析下设计的，体现了数学可以给世界带来的各种变化。
如果我们理解得当，这无疑是一个合理的观点。毫无疑问，数学在我们表示、理解和改变世界的方式中起着至关重要的作用。波普尔（1972）也捍卫了这样一种观点，即数学世界是因果有效的。
但我们不清楚，是否需要数学世界本身具有因果效力，它才能在我们理解和改变世界中发挥这样的作用。毕竟，相同的数学结构与完全不同的物理情况兼容，具有不同的因果关系。因此，鉴于相关数学结构之间的兼容性并且没有相应的因果变化，我们尚不清楚数学是否具有因果关系，并对物理世界中产生的影响负责。
例如，考虑一下量子力学中的狄拉克方程：这是一个具有负能解的重要方程。那么问题是如何解释这些解。事实证明，方程及其解与三种截然不同的物理情况兼容。第一个是负能解被认为与物理世界中的任何事物都不对应。这是保罗·狄拉克（Paul Dirac）对这个方程的最初反应，这个方程在他 1928 年第一次遇到这个方程后以他的名字命名。这个反应是相当合理的，事实上，这与经典力学中方程的负解时的反应是一样的。然而，到 1930 年，狄拉克提出了对狄拉克方程的不同解释：负量解对应于时空中的“洞”。但正如维尔纳·海森堡（Werner Heisenberg）和赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）等人迅速指出的那样，在这种解释中，电子和质子将具有相同的质量，这在经验上显然是不充分的。1931 年，狄拉克不为所动地提出了对同一方程的第三种解释，根据该方程，负能解对应于与电子质量相同但电荷相反的新粒子。次年，即 1932 年，卡尔·安德森（Carl Anderson）制作了一张宇宙辐射的云雾室图像，经过适当的解释，可以被视为支持这种粒子的存在：正电子已经被发现（有关详细信息和参考资料，请参阅 Bueno 2005）。
图2. 正电子的图像。狄拉克提出一种带正电荷的电子，1932年安德森等人在云雾室中观测到了正电子，开辟了反物质领域的研究，他也因此获得了诺贝尔物理学奖。
这个例子说明了数学的一个共同特征：极端的不确定性，在这种情况下，相同的数学关系与完全不同的经验情况兼容。狄拉克方程及其负能解与三种非常不同的物理环境兼容：（i）一种情况下，其解不对应于任何物理真实的东西，因此没有预期或观察到因果关系；（ii）另一种情况，其解与时空中的“洞”有关，并最终引入一些经验充分的东西；最后，（iii）解指向一中新粒子，最终产生了经验证据。鉴于这种不确定性，似乎相关的数学结构并不能唯一地确定世界上的因果关系。正如上面第一种情况清楚地说明，狄拉克方程也与不存在任何因果变化的事实相兼容，这一事实似乎说明我们无法将因果力量归因于数学。
接下来的问题是，究竟是数学的抽象世界具有因果有效性，还是人们在这个世界中的行为，在某些情况下，是由对数学形式主义的适当解释所决定的，最终是因果有效性。相同的数学与世界上非常不同的物理状态兼容这一事实似乎质疑抽象世界与物理环境之间是否可以建立直接的因果关系。任何这样的联系都是通过对数学结构的适当解释来调节的，其结果是，与其说是数学，不如说是它的解释将相关的抽象结构与相应的物理过程联系起来。尽管数学很重要，但它只提供了一个整体框架，它对物理世界中发生的事情的因果过程保持沉默。将这个框架与具体的物理过程联系起来的艰巨工作，需要恰当的解释，这通常不是唯一的，并且会导致非常不同的因果结果。
作为进一步的说明，请考虑选择公理（Axiom of Choice）的情况，该公理在其众多公式中指定任何非空集合都具有选择函数，即从原始集合中的每个集合生成相应元素的函数。众所周知，从这个公理可以看出，每个集合都可以是良序的。选择函数提供了良序的存在，即使它不能表现出所讨论的特定良序。这是恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）在集合论早期建立的结果（Zermelo 1904）。事实上，鉴于选择公理的明确表述所产生的争议，良序的结果最终导致策梅洛阐明了集合论的第一个公理化（Zermelo 1908; 有关讨论，请参阅 Kanamori 1997）。
但选择公理也有意想不到的后果，所谓的巴拿赫-塔斯基“悖论”就是一个重要的例子。根据这个结果，给定一个固体球体，可以将其分解成有限多的碎片，这些碎片可以放在一起形成两个与原始球体大小相同的固体球体（有关选择公理后果的进一步讨论，请参阅 Bell 2009）。悖论的感觉于考虑到一个物理球体（也许是一个橙子）可以被切成两个球体（两个橙子）而产生的混乱。显然，这是不可能的，巴拿赫-塔斯基定理也没有另外说明。事实上，该定理仅适用于抽象对象：所讨论的球体没有体积（它们是点的无限散射），并且该定理对具体对象（例如水果）可以或不能做什么没有任何说明。再一次，在物理世界中，从抽象实体到具体配置没有直接的因果关系。
也许可以说，数学只有一种倾向因果的作用：只有在适当的情况下，我们才能在世界上感受到数学的因果效应。人类（或具有相应意识的生物）需要存在并能够适当地解释相关的数学结构，并根据所讨论的数学提供的抽象模式在现实世界上实施相应的行动（建造桥梁、飞机、粒子加速器）。但关键是，如果没有相关的数学，根本无法创建几个这样的结构。
这就把数学在科学、工程和技术实践中不可缺少的问题（Colyvan 2001）带到了科学、工程和技术实践中。我当然承认，数学对于这些实践中确实是不可或缺的，即使在那些可以省略数学的情况下（例如，在简单的算术计算中，可以仅从逻辑角度进行），毫无疑问，数学提供了强大的表示工具，极大地简化了所涉及的推理过程。然而，即使赋予数学的不可或缺性，还需要一个额外的步骤来得出结论，数学需要具有因果效应才能发挥这种不可或缺的作用。
以下是对这种情况的不同描述：数学结构是抽象的，因此，在因果上是不活跃的，并且不位于时空中。它们没有直接指定任何关于物理世界的内容，因为物理过程是具体的：它们是具有时空定位和因果活跃的。简单地说，如果数学结构指定了函数、数字和集合之间的关系，并且如果所有这些实体都被认为是抽象的，那么它们都不是物理世界的一部分，就像通常的情况一样，假设后者被认为是具体的。充其量，数学结构只施加了基数限制。据推测，如果给定数学理论的所有模型都是有限的，那么它们就不足以容纳涉及无限多项目的现象。撇开基数的不谈，目前尚不清楚抽象数学结构本身是否具有因果效力（或具有任何因果力量），尽管它们在物理现象的表征以及世界上建筑物和人工制品的设计和建造所涉及的可能性的分析中发挥了不可否认的作用。
与其将这一过程描述为从抽象结构到物理现象、过程和事件的自上而下的因果关系形式，不如用数学在物理世界表示中发挥的推论作用来解释。数学结构提供有关给定抽象域中可能（或不可能）配置的信息。一旦得到适当的解释，就像狄拉克试图将狄拉克方程的负能解连接到物理世界时所做的那样，数学结果可以用来推断具体物体。毫无疑问，将推理过程描述为一种自上而下的因果关系形式是高度暗示性的，但它似乎要求抽象结构本身具有因果效力。要做到这一点，这种结构需要成为具体世界因果网络的一部分，具有时空位置和因果活性。困难是如何在抽象实体的情景中理解这些特征。
也许可以说，数学对象和结构位于它们所应用的具体对象所在的任何位置。从这个意义上说，抽象结构将具有因果力量，只要它们所适用的具体对象具有这种能力，因此具有因果效力。只要抽象和具体之间（在共置和识别方面）之间存在紧密的联系，就不难理解前者如何与后者具有完全相同的效力。
然而，困难在于数学理论通常比任何潜在的物理实例具有更多的结构。数学理论在物理世界的应用中如此有用的部分原因是它们提供了额外的，多余的结构（Bueno & French 2018）。上面狄拉克方程的例子也说明了这一点，考虑到最初被认为是完全多余的数学特征（即负能解）所起的作用，因此被认为只是结构冗余的一部分，但是通过适当的物理解释，结果证明在启发式上非常富有成效，并最终发现了一种新粒子（正电子）。有趣的是，当安德森被问及他是否知道狄拉克的工作时，他承认他知道狄拉克的论文，但指出他忙于处理他的仪器，在他看来，正电子的发现对他来说是“一个意外” （有关参考，请参见 Bueno 2005）。
由于数学理论通常提供的结构比具体世界中发现的任何结构都大得多，因此尚不清楚这些结构如何在物理上位于它们所应用的区域中。在无限数学结构的情况下，它们永远不能在物理世界的任何部分完全实例化（假设它是有限的）。因此，可能无法唯一确定实际上应用了哪种数学结构。毕竟，有几个非同构结构与据称正在应用的结构的初始部分重叠，但在其他地方偏离了它，结果是无法确定哪个结构最终处于危险之中。
由于这些原因，通过检查相关结构的解释所起的作用，而不是强调数学之间的潜在因果关系，在科学和其他学科中使用数学和抽象结构似乎更容易解决问题。结构和物理现象。这使得人们可以通过埃利斯的自上而下的因果关系方法来承认数学结构在塑造具体世界中的巨大和决定性意义，尽管通过强调对所讨论结构的正确解释所起的作用，而不是承诺存在抽象世界和物理现实之间的直接因果关系。
3测量和自下而上的因果关系
图3. 乔治·埃利斯（George Ellis），著名理论物理学家，英国皇家学会院士，南非开普敦大学数学与应用数学系复杂系统荣休教授。曾与剑桥大学物理学家斯蒂芬·霍金合著了《时空的大尺度结构》。
根据埃利斯的说法，另一个自上而下的因果关系也至关重要的领域是微观物理学，特别是在量子力学测量的背景下。通常，重要的是要将按照薛定谔方程演化的量子系统的演化与测量过程区分开来，在适当的准备之后，测量过程旨在确定系统的状态。正如埃利斯所指出的：
测量是一个与状态准备过程有显着相似之处的过程，因为两者都可以将作为状态叠加的波函数更改为特征函数。因此，它们是非单一过程，不等价于薛定谔方程的作用。（Ellis 2016, p. 273）
将观察者与研究中的量子系统区分开来也是常见且重要的。否则，测量设备与待测系统之间的相互作用将仅相当于量子力学要解释的另一种物理相互作用，而不是对系统的测量。但测量不仅仅是任何相互作用：它涉及到一些特殊的东西，因为观察者的存在以及观察者影响测量过程某些方面的能力。正是在这个关头，自上而下的因果关系进入了。埃利斯强调这一点：
实验观点是，宏观观察者和设备作为宏观实体存在，可以被认为是理所当然的，并且可以在启用状态向量准备和确定测量结果的情境方面影响量子状态，例如，通过确定将沿其测量自旋的轴。当然，这两种情况都是自上而下的因果关系。（Ellis 2016, pp. 273–274）
埃利斯将观察者在测量过程中可能产生的两种影响（即，启用状态向量准备和为测量结果提供情境）识别为自上而下因果关系的实例是完全正确的。毕竟，这两种情况粗略地说，都涉及从思维到身体的影响。这两种情况也相当合理，不像产生量子力学特有的令人困惑的困难或挑战。毕竟，人们在科学的其他类型的测量中发现了类似的例子。例如，为了使用透射电子显微镜，生物学家首先需要正确准备样品，因为无法通过测量过程检测到任何有用的东西。只有在样品和显微镜之间的适当相互作用已经设置好之后，测量才能产生最低限度的足够结果。换句话说，样品制备是必不可少的步骤，它为整个测量过程提供信息。这包括将一块被研究的材料切割成适当的尺寸，将其粘在玻璃板上，研磨和抛光样品，最后将其放入样品架中。观察者在过程的每个阶段所做的选择和恰当的行动，清楚地说明了自上而下的因果关系在测量过程中所起的作用。如果选择不同（与研究材料不同的部分；如样品架上放错了样品），测量结果（相应的显微照片）也会相应不同。观察者清楚地启用和实施样品制备。
同样，确定“测量结果的情境”也是电子显微镜的核心。毕竟，样品中材料的切割方式可能会产生显着不同的结果，最终通过不同的显微照片表现出来。根据显微照片中提供的信息，人们可能会认为给定细胞结构的形状是长方形的，而如果考虑到它的三维结构，则相关形状更接近于圆柱形。因此，测量结果的背景对于正确确定相关测量结果至关重要，以便人们能够正确理解所获得结果的重要性。例如，考虑根据合适的显微照片确定线粒体的形状。注意测量结果的适当情境对于避免从测量结果中得出不正确的推论至关重要。
但是，使用电子显微镜的结果是否应该被视为测量结果？我认为答案是肯定的，但这当然取决于测量的基本概念。这样的概念应该足够广泛，以便人们理解测量如何涉及不同的实践，不仅在物理、化学和生物学中，而且在其他几个代表性活动中，例如考古学中的石刻插图（Lopes 2018, Chapter 10）和美术中的透视绘画（van Fraassen 2008, Chapters 1–3）。
在最一般的形式中，测量具有两个特征（van Fraassen 2008，p. 91）：（a）它是一种特殊的物理相互作用，（b）它是一个收集相关信息的过程，适合于相互作用。条件（a）保证测量是物理过程，因此，原则上是能够提供有关物理世界信息的那种东西。条件（b）规定测量的目的是获取相关信息的过程。当然，什么是相关的是一个高度情境敏感的问题，原则上，这允许测量在各种领域上运行 - 事实上，在任何可以获得物理信息（广泛理解）的地方都可以。
正如 Bas van Fraassen 所强调的：
测量同时是一种物理交互和有意义的信息收集过程。（van Fraassen 2008, p. 91）
根据这一概念，从所讨论的测量装置或技术的角度来看，获得测量值是以某种方式表示相关现象。van Fraassen 继续说道：
测量完全属于表示的标题，而测量输出在某个阶段被设想为以观察性描绘的方式在选择性相似性上进行交易。（van Fraassen 2008, p. 91）
透视绘图提供了一种将三维场景转换或转移为二维表面的特定技术。该技术涉及一个过程，实现正确结果所涉及的步骤，以及产品，最终图纸，实现到透视。两者都与测量密切相关。根据 van Fraassen 的说法：
透视绘图为我们提供了一个测量的范例。绘制过程产生绘制对象的表示，该表示有选择地仿造该对象；这种相似性立即处于相当高的抽象水平，但却涌现在人们的眼睛里。虽然有关空间配置的信息以一种固定关系捕获，很难用单词或方程式来表示，但它以用户友好的方式传达给我们。这个例子也是典型的，因为它显示得如此清晰，以至于表示（测量结果）显示的不是物体“本身”的样子，而是它在测量设置中的“样子”。所用测量仪器的用户必须以“从这里开始”的形式判断结果。最后，硬币还有另一面：正是通过一个过程产生了这种形式的判断——也就是说，通过一种测量！——任何模型才变得可用。（van Fraassen 2008, pp. 91–92）
有趣的是，透视图中的观察者选择描绘场景的角度，测量结果，即绘图本身，将显示从该角度看场景的样子：“这就是从这里开始的样子”。该角度的选择（场景的取景）对应于测量的准备形式，并且由此产生的选择性（仅从观察者的角度可以看到的内容显示在绘图上）为测量结果提供了情境。通过这种方式，埃利斯在测量中确定的两种形式的自上而下的因果关系（2016, pp. 273–274）似乎都存在于透视图中。
继续讨论量子力学中的测量，埃利斯指出：
在这里，我们所说的测量，我们指的是一个过程，在这个过程中，量子不确定性被改变成一个确定的经典结果，可以作为所发生事情的证据进行记录和检查。（Ellis 2016, p. 247）
显然，正如埃利斯通过将讨论置于量子力学中所指出的那样，如果用这些术语来理解测量，它就成为量子理论特有的概念，因为它涉及从量子不确定性到经典结果的确定性的转变。但鉴于上述讨论，尽管测量在量子理论中发挥了关键作用，但其他科学领域以及自然科学以外的许多其他领域，包括透视绘图和石刻插图，也提供并依赖于测量，这是关于世界信息的关键来源。因此，还需要一个不完全与量子力学相关的测量概念，或者不以量子力学为范例的测量概念。
埃利斯确实强调了测量的一个方面，通过消除观察者的需求来扩大概念：他指出，测量主要是一个物理过程，实际上可以独立于观察者进行。在他看来：
观察者没有必要实际进行任何测量。例如，当光子落在物理物体（如屏幕，照相板或植物的叶子）上，并在特定时间和地点将能量沉积在物体上的特定点上时，就会发生这种情况。用更专业的术语来说，当一般波函数的某个分量坍缩为算子的特征状态时，它通常发生[ . . . ]。（Ellis 2016, p. 247）
毫无疑问，为了使测量产生相关信息，它们必须是合适的物理过程。如果没有适当的物理相互作用，尚不清楚是否可以进行测量。但是，在观察者解码相关信息之前，测量将无法产生任何此类结果。如果测量涉及“有意义的信息收集过程”（van Fraassen 2008, p. 91），那么似乎需要有意的观察者。否则，只会发生物理交互，而不是测量。埃利斯明确强调了自上而下的因果关系在测量中发挥的作用，鉴于上文讨论的观察者在测量中可以产生的两种影响，似乎要求观察者在测量过程中发挥作用：它们使状态矢量准备成为可能，并为测量结果提供背景（Ellis 2016, pp. 273–274）。
在一定程度上，这一点是埃利斯本人所强调的。正如他所指出的那样：
我们无法对测量过程本身发表意见，因为量子物理学仍然无法解释这是如何发生的。这也可能取决于具体情境。显而易见的是，局部环境（例如使用哪种类型的实验设备）会影响量子测量结果[ . . . ]例如，如果我们测量自旋，则最终状态与我们测量动量时不同。较低级别的物理学不能免受更高层次的影响。（Ellis 2016, p. 239）
在这段话中，有一个正确的认识，即要执行的测量类型通过选择要测量的量级来影响测量结果。同样突出的是各种测量的差异：自旋测量与动量测量明显不同。总而言之，这些考虑似乎再次支持了观察者在测量过程中的重要性。毕竟，选择进行不同种类的测量是观察者的选择。
值得注意的是，在量子力学的背景下，测量，以及观察者，都参与了量子理论的另一个关键特征：测量结果的不确定性。根据埃利斯：
量子理论的一个基本方面是测量结果的不确定性是无法解决的：原则上甚至不可能获得足够的数据来确定量子事件的独特结果[...]。这种不可预测性不是缺乏信息的结果：它是基础物理学的本质。这种不确定性在测量发生时表现出来，而且只有到那时。没有测量，量子过程就没有不确定性。（Ellis 2016, p. 247）
埃利斯在这里回应了安东尼·莱格特强调的一点：
[ . . . ]测量行为是微观世界与宏观世界之间的桥梁，微观世界本身并不具有确定的属性。（Leggett 1991, p. 87；引自 Ellis 2016, p. 247）
鉴于测量在量子理论中的中心地位以及观察者在自上而下的因果关系中的作用，似乎观察者最终在测量过程中是必需的。
4结论
正如上面的考虑因素应该清楚地表明的那样，埃利斯对自上而下的因果关系的深刻见解有很多我钦佩的地方，并且有很多东西可以学习。虽然我对数学背景下的因果关系表示了一些担忧，并试图对埃利斯在这种背景下的考虑提出友好的修正，但我完全同意他更普遍地强调测量中的自上而下的因果关系。在我看来，观察者应该是整个测量过程的关键组成部分。
自下而上和自上而下的影响自下而上和自上而下的因果关系都发生在结构和因果关系的层次结构中。自下而上的因果关系是物理学家的基本思维方式：较低层次的行为是较高层次行为的基础，例如物理学是化学的基础，生物化学是细胞生物学的基础，等等。随着较低能级动力学的进行，例如分子通过气体的扩散，相应的粗粒度较高能级变量将随着较低能级的变化而改变，例如，不均匀的温度将变为单形式温度。然而，虽然较低层次通常满足较高层次所发生情况的必要条件，但它们只是有时（在复杂系统中很少）提供足够的条件。正是自下而上和自上而下的因果关系的结合，使同级行为能够在更高层次上出现， 因为较高级别的实体为较低级别的行为设置具体情境，使得在较高级别上出现一致的同级别行为。
参考文献
Bell, J. L. (2009). The axiom of choice. London: College Publications. Bueno, O. (2005). Dirac and the dispensability of mathematics. Studies in History and Philosophy of Modern Physics, 36, 465–490. Bueno, O., & French, S. (2018). Applying mathematics: Immersion, inference, interpretation. Oxford: Oxford University Press. Colyvan, M. (2001). The indispensability of mathematics. New York: Oxford University Press. Ellis, G. (2016). How can physics underlie the mind? Top-down causation in the human context. Berlin: Springer. Hale, B. (1987). Abstract objects. Oxford: Blackwell. Kanamori, A. (1997). The mathematical import of Zermelo's well-ordering theorem. Bulletin of Symbolic Logic, 3, 281–311. Leggett, A. J. (1991). Reflections on the quantum measurement paradox. In B. J. Hiley & F. D. Peat (Eds.), Quantum implications: Essays in Honour of David Bohm (pp. 85–104). London: Routledge. Lewis, D. (1986). On the plurality of worlds. Oxford: Blackwell. Lopes, D. (2018). Aesthetics on the edge: Where philosophy meets the human sciences. Oxford: Oxford University Press. Popper, K. (1972). Objective knowledge: An evolutionary approach (Rev. ed., 1979). Oxford: Oxford University Press. van Fraassen, B. C. (2008). Scientific representation: Paradoxes of perspective. Oxford: Oxford University Press. Zermelo, E. (1904). Neuer Beweis, dass jede Menge Wohlordnung werden kann (Aus einem an Herrn Hilbert gerichteten Briefe). Mathematische Annalen, 59, 514–516. (English translation in J. van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879– 1931 (pp. 139–141). Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967). Zermelo, E. (1908). Untersuchungen uber die Grundlagen der Mengenlehre. Mathematische Annalen, 65, 107–128. (English translation in J. van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879–1931 (pp. 199–215). Cambridge, MA: Harvard University Press, 1967).
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本文经授权转载自微信公众号“集智俱乐部”。
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